前言
現代的物理學發展的框架下，喜歡從作用量Action S出發，當物理學家寫下Action後（根據實驗、物理現象和限制等等猜出），針對Action做變分\(\delta S\)（Variation）後，在最小作用量原理（Principle of least action）\(\delta S=0\)的要求下，就可以得到物理遵守的運動方程，後續就根據不同的物理系統求滿足運動方程的物理量變化。 古典力學的發展上，由d' Alembert利用虛功原理可以得到 $${d \over dt}{\partial L \over \partial \dot{x}_i}-{\partial L \over \partial x_i}=0$$ 後來Hamilton進一步闡明上述方程是滿足 $$\int_a^b L(x_1,...,x_n,\dot{x_1},...,\dot{x_n},t)dt$$ 利用變分法取極值\(\delta S=0\)的必然結果。 在物理學上，變分法通常用於新理論在初期發展時，由於物理學家還不知道正確的運動方程，故會根據實驗成果、物理經驗等去猜Action可能的形式，然後利用變分法得到描述Lagrangian滿足的運動方程，此後變分法便功成身退，後續的解題過程只要處理運動方程即可。例如 $$\int_a^b L(x,\dot{x},t)dt$$ 用變分後可以得到Euler-Lagrange equation $${d \over dt}{\partial L \over \partial \dot{x}}-{\partial L \over \partial x}=0$$ 後續理論力學課程只要會解Euler-Lagrange equation就好，所以整學年的課程變分法不常出現，於是應數相關的書籍對於變分法提及就不多。故在此簡單用不是數學上嚴謹的方式稍為介紹一下變分法。
王培儒