最小作用量原理（相對論性）

這部分要討論的是，加入Gauge不會改變Action的變分，意味著運動方程不會受到Gauge的改變，也代表Gauge Invariance。當加入Gauge時。： $$ \bar{A} ^\mu =A^\mu +\partial ^\mu G$$ 我們來觀察一下Action \(S=S_P+S_{PF}+S_F\)有誰會受到影響： $$S_P=-mc^2 \int _a^b d\tau =\int -\rho_m cd^4 x $$ $$S_{PF}=-{e\over c} \int _a^b A_\mu dx^\mu =-{1 \over c^2} \int A_\mu J^\mu d^4 x $$ $$S_F=\int -{1 \over 16 \pi c} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} d^4 x $$ 因為剛剛已經證明，\(F^{\mu \nu}\) 不受到Gauge的影響，而\(S_P\)沒有\(A^\mu\) 相關，所以唯一受到影響的是\(S_{PF}\) $$\bar{S}_{PF}=-{e\over c} \int _a^b \bar{A} _\mu dx^\mu =-{1 \over c^2} \int \bar{A} _\mu J^\mu d^4 x $$ 針對\(\bar{S}_{PF}\)變分 $$\delta \bar{S}_{PF}=-{1 \over c^2} \delta \int \bar{A} _\mu J^\mu d^4 x =-{1 \over c^2} \delta \int A_\mu J^\mu d^4 x \color{red}{-{1 \over c^2} \delta \int \partial _\mu G \cdot J ^\mu d^4 x }$$ 將後面那一項利用微分的Chain rule $$\partial _\mu G \cdot J ^\mu =\partial _\mu (GJ^\mu )-G\partial _\mu J^\mu $$ $$\delta \bar{S}_{PF}=-{1 \over c^2} \delta \int A_\mu J^\mu d^4 x \color{red}{-{1 \over c^2} { \delta \int \partial _\mu \left(GJ^\mu \right) d^4 x + {1 \over c^2} \delta \int G\partial _\mu J^\mu d^4 x} } $$ 中間項利用Divergence theorem改寫成 $$\delta \bar{S}_{PF}=-{1 \over c^2} \delta \int A_\mu J^\mu d^4 x \color{red}{-{1 \over c^2} {\delta \left[ ∮ GJ^\mu dS_\mu \right]}{ +{1 \over c^2} \delta \int G \left[\partial _\mu J^\mu \right] d^4 x }}$$ 中間項因為Boundary上的變分為0，所以中間項為0： $$\color{red}{\delta \left[∮ GJ^\mu dS_\mu \right]=0}$$ 最後一項回憶（由實驗觀察到的）連續性方程Continuity equation $${\partial \rho_e \over \partial t}+ \nabla \cdot \overrightarrow{J}=0$$ 寫成相對論性 $$\partial _\mu J^\mu =0$$ 導致最後一項也為0 $$\color{red}{\delta \int G \left[\partial _\mu J^\mu \right] d^4 x =0}$$ 所以 $$\delta \bar{S}_{PF}=-{1 \over c^2} \delta \int A_\mu J^\mu d^4 x =\delta S_{PF}$$ 這表示加入Gauge不會改變Action的變分，整套物理滿足Gauge Invariance。