最小作用量原理（相對論性）

本篇內容主要在古典範疇討論，在此簡單討論一下\(A_\mu A^\mu \)在量子場論中對應到的是光子質量。Klein–Gordon equation描述自旋整數的粒子，由來簡單的從相對論出發，根據4-momentum： $$P_\mu P^\mu =m^2 c^2$$ 量子場論與古典的關係其中一點就是所有物理量都改寫成算符(operator)作用到wave function \(\phi\) $$\hat{P} _\mu \hat{P} ^\mu \phi =m^2 c^2 \phi $$ 量子場論中動量算符為 $$\hat{P} ^\mu =i\hbar \partial ^\mu $$ 代入 $$(i\hbar \partial _\mu )(i\hbar \partial ^\mu )\phi =m^2 c^2 \phi $$ $$-\hbar ^2 \partial _\mu \partial ^\mu \phi =m^2 c^2 \phi $$ 得到Klein–Gordon equation $$(\hbar ^2 \partial _\mu \partial ^\mu +m^2 c^2 )\phi =0$$ 如果設\(\hbar =c=1\)（普朗克單位制或自然單位制） $$(□+m^2 )\phi =0$$ 就是常見的形式。在量子場論中描述Spin 1 massive particle的Lagrangian dendity: $$L=-{1 \over 2} \partial _\mu A_\nu \partial ^\mu A^\nu +{1 \over 2} m^2 A_\nu A^\nu (採用\hbar =c=1)$$ 對\(\delta A^\nu \)變分滿足 $$\partial ^\mu \left({\partial L \over \partial \left(\partial ^\mu A^\nu \right)} \right)-{\partial L\over \partial A^\nu }=0$$ 得到 $$-\partial ^\mu (\partial _\mu A_\nu )-m^2 A_\nu =0\to \partial ^\mu \partial _\mu A_\nu +m^2 A_\nu =0$$ $$(□+m^2 ) A_\nu =0$$ 就得到Klein–Gordon equation描述Spin 1 massive particle的EoM。可以看到\(A_\nu A^\nu\) 對應到的是光子質量。不過，正確描述Spin 1 massless particle的Lagrangian dendity並不是\(\mathcal{L}=-{1 \over 2} \partial _\mu A_\nu \partial ^\mu A^\nu\) ，而是 $$\mathcal{L}=-{1\over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} $$ 後續涉及到光子無質量造成的一些自由度問題，會需要一些技術細節將4-potential的四個自由度消除兩個，以對應到光子只有兩個偏振方向，就不再此討論。