淺談希爾伯特變分
在傳統廣義相對論的框架下，\(\Gamma^\rho_{\nu\sigma}\) 聯絡採用「度規相容（metric compatible）」與「無撓率（torsion-free）」的假設。前者「度規相容（metric compatible）」大意是說度規沿著 \(\Gamma^\rho_{\nu\sigma}\) 聯絡做「平行移動（parallel transport）」的時候不變： \[ \nabla_\beta g_{\mu\nu} = g_{\mu\nu;\gamma} = g_{\mu\nu,\gamma} - g_{\alpha\nu} \Gamma^\alpha_{\mu\gamma} - g_{\alpha\mu} \Gamma^\alpha_{\nu\gamma} = 0 \] 白話來說，就是物體的長度從 A 點平移到 B 點長度不變。
後者「無撓率（torsion-free）」的假設則在於 \(\Gamma^\rho_{\nu\sigma}\) 聯絡的兩個下標是對稱的： \[ \Gamma^\rho_{\nu\sigma} = \Gamma^\rho_{\sigma\nu} \] 數學上有定理可以證明，給定度規分佈下，可以唯一決定無撓率的 \(\Gamma^\rho_{\nu\sigma}\) 聯絡。有興趣的讀者可以參考 Loring W. Tu 的著作 Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes 中的 Theorem 6.6。
這兩個條件可以導出聯絡與度規的關係： \[ \Gamma^\alpha_{\mu\gamma} = \frac{1}{2} g^{\alpha\nu} \left( g_{\nu\mu,\gamma} + g_{\nu\gamma,\mu} - g_{\mu\gamma,\nu} \right) \] 表明 \(\Gamma^\rho_{\nu\sigma}\) 聯絡與度規的一次微分有關，進一步可以表明 \(R^\alpha_{\mu\beta\nu}\)、\(R_{\mu\nu}\)、\(R\) 會與度規的二次微分有關。
重力的 Lagrangian density \(L_G\) 表示為： \[ L_G = \frac{c^4}{16\pi G} R \sqrt{-g} = L_G \left( g_{\mu\nu}, g_{\mu\nu,\alpha}, g_{\mu\nu,\alpha\beta} \right) \] 希爾伯特利用對度規（metric）變分，可以得到愛因斯坦場方程式。不過在這種觀點下，\(L_G\) 會與度規的二次微分有關。
前文提及 Ostrogradsky instability，我們預期 \(L\) 只會依賴於場的一次微分，否則會導致能量沒有下限的問題。下一節我們將利用 Palatini 變分法，將聯絡場與度規場視作獨立的場分別變分，亦可得到相同的結論。
此時，由於聯絡場與度規場各自獨立，\(R_{\mu\nu}\) 只是聯絡的一次微分，因此 \(L_G\) 可以寫成： \[ L_G = \frac{c^4}{16\pi G} g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} \sqrt{-g} = L_G \left( g^{\mu\nu}, \Gamma^\alpha_{\mu\gamma}, \Gamma^\alpha_{\mu\gamma,\beta} \right) \] 這樣可以安全地避免二次微分問題。
王培儒