諾特定理

傳統上，我們可以透過許多方式，判斷 EoM 最多是二次微分方程式。例如邊界條件，在牛頓力學中只需要知道以下其中一個資訊：

1. 起始位置時間 \((q, t_i)\) 與終點位置時間 \((q_f, t_f)\)

2. 起始位置時間 \((q_i, t_i)\) 與起始速度 \( \dot{q}_i \)

就可以唯一決定物體的運動行為。換句話說，物理的路徑只跟前述條件擇一有關。這對應到 EoM 是二次微分方程式，例如 \(F = m \ddot{x}\)，起始條件只需要起始位置與起始速度。在 Lagrangian 體系中，EoM 是 Euler-Lagrange equation： \[ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \] 注意 \(\frac{d}{dt}\) 會讓物理量升一次微分，如果要讓 EoM 最多是二次微分，那 Lagrangian \(L\) 只能是 \(L(\dot{q}, q, t)\) 的函數。除了我們從經驗上（實驗上）判斷 EoM 是二次微分、\(L\) 只能是 \(L(\dot{q}, q, t)\) 的函數，事實上如果 Lagrangian \(L\) 包含更高階的導數，還會引發更嚴重的問題： 如果 \(L\) 包含二階以上的導數，則系統的 Hamiltonian \(H\)（即能量 \(E\)）不存在下限，我們稱之為 Ostrogradsky instability。能量 \(E\) 不存在下限在物理學上是非常嚴重的事情，在量子力學中，代表「不存在基態 Ground State」，粒子可以無下限地進入到負無窮的能量態；在熱統計力學中，配分函數（Partition function） \[ Z = \sum_{E_i} e^{-\frac{E_i}{k_B T}} \] 不收斂（\(Z \to +\infty \because \exists E_i \to -\infty \)），無法決定不同組態的機率 \[ \rho_i = \frac{1}{Z} e^{-\frac{E_i}{k_B T}} \] 所有物理量無法有效預測。

傳統 Lagrangian 的 Hamiltonian

我們先回到傳統 Lagrangian \(L(\dot{q}, q, t)\) 對應的 Hamiltonian： \[ H = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} - L \] 我們從朗道（Landau）的論證中，因為我們相信空間的均向性（isotropic, or homogenous in space and time）與座標獨立性（frame independent，即相對性原理 Principle of relativity，物理不與座標選取、正負號選取有關），Lagrangian \(L\) 只會是 \(\dot{q}^{2n}\) 和 \(q^{2n}\)，都是偶數次方，且 \(L\) 必須是純量。 更仔細地說，因為 \(\overrightarrow{\dot{q}}\)、\(\overrightarrow{q}\) 是向量，為了滿足上述需求，\(\overrightarrow{\dot{q}} \to \overrightarrow{\dot{q}} \cdot \overrightarrow{\dot{q}} = |\dot{q}|^2\)、\(\overrightarrow{q} \to \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{q} = |q|^2\)，只與物理量的大小、不與方向有關，為偶數次方。 最簡單的簡諧震盪： \[ L = \frac{m}{2} \dot{q}^2 - \frac{k}{2} q^2 \implies H = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} - L = \frac{m}{2} \dot{q}^2 + \frac{k}{2} q^2 \] 可以注意到 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} = m \dot{q}^2 \) 依舊維持偶數次方，能量 \(E\) 有下限。

當 \(L\) 包含二次導數

如果我們允許 Lagrangian \(L\) 包含二次導數，即 \(L = L(\ddot{q}, \dot{q}, q, t)\)，首先可以用變分原理推導出 EoM： \[ \delta L = \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \ddot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial q} \delta q \] \[ = \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \frac{d}{dt} \delta \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d}{dt} \delta q + \frac{\partial L}{\partial q} \delta q \] \[ = \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \dot{q}\right) - \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right) \delta \dot{q} + \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q\right) - \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) \delta q + \frac{\partial L}{\partial q} \delta q \] \[ = \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q\right) - \frac{d}{dt} \left[\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right) \delta q\right] + \frac{d^2}{dt^2} \left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right) \delta q + \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) \delta q \] \[ = \frac{d}{dt} \left[\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \delta \dot{q} + \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right) \delta q\right] + \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} + \frac{d^2}{dt^2} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right) \delta q \] 第一項是邊界項，第二項即是EoM: \[ \frac{d^2}{dt^2} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} + \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \] EoM 因為 \(\frac{d^2}{dt^2} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\)，這導致 EoM 成為四次微分方程，微分方程需要依賴起始位置 \(q(0)\)、起始速度 \(\dot{q}(0)\)、起始加速度 \(\ddot{q}(0)\) 外，還需要起始急跳度 \(\dddot{q}(0)\)！ 即便 \(L\) 多考慮二次導數，EoM 卻需要考慮到三次微分，這顯得不合理。

Hamiltonian 的影響

從 Lagrangian \(L\) 開始，我們考慮以下公式： \[ \frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \frac{d\ddot{q}}{dt} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d\dot{q}}{dt} + \frac{\partial L}{\partial q} \frac{dq}{dt} + \frac{\partial L}{\partial t} \] 移項並整理後，可以得到： \[ \frac{\partial L}{\partial t} = \frac{dL}{dt} - \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \frac{d\ddot{q}}{dt} - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d\dot{q}}{dt} - \frac{\partial L}{\partial q} \dot{q} \] \[ = \frac{dL}{dt} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \ddot{q} \right) + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \right) \ddot{q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} \right) + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \dot{q} - \frac{\partial L}{\partial q} \dot{q} \] \[ = \frac{dL}{dt} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \ddot{q} \right) + \frac{d}{dt} \left[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \right) \dot{q} \right] - \frac{d^2}{dt^2} \left( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \right) \dot{q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} \right) + \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \dot{q} - \frac{\partial L}{\partial q} \dot{q} \] \[ = \frac{d}{dt} \left[ L - \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \ddot{q} + \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \dot{q} \right] - \left( \frac{d^2}{dt^2} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} + \frac{\partial L}{\partial q} \right) \dot{q} \] 第二項即為 EoM = 0，而第一項為 Hamiltonian： \[ H = \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \ddot{q} + \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \right) \dot{q} - L \] 。在前面討論中，因為均向性和相對性原理的要求，我們可以推論 \(\ddot{q}\)、\(\dot{q}\)、\(q\) 在 Lagrangian \(L\) 中都是偶數次方，所以 \[ \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \ddot{q}, \quad \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} \] 依然為偶數次，並且恆正。然而 \[ \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \right) \dot{q} \] 會導致 \(\ddot{q}\) 與 \(\dot{q}\) 形成奇數次，從而允許 Hamiltonian \(H\) 沒有下限。此即為 Ostrogradsky 不穩定性。

更一般的情況 如果讀者有興趣，可以考慮 \(L = L\left(\frac{d^n q}{dt^n}, \dots, \frac{dq}{dt}, q, t\right)\)，對應的 EoM 和 Hamiltonian 為： \[ \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{d^i}{dt^i} \left[ \frac{\partial L}{\partial \left(\frac{d^i q}{dt^i}\right)} \right] = 0 \] \[ H = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} \left[ \frac{d^{i-j}}{dt^{i-j}} \frac{\partial L}{\partial \left(\frac{d^i q}{dt^i}\right)} \right] \frac{d^j q}{dt^j} - L \] 可以注意幾點： 如果 \(L\) 依賴於 \(n\) 次導數，則 EoM 會變成 \(2n\) 次微分方程，起始條件會依賴到 \(2n-1\) 次微分，\(2n-1≥n\)，等號成立於\(n=1\)，故不讓起始條件超出原本\(L\)依賴的次數僅可能為\(1\)。 一旦 \(n > 1\)，Hamiltonian \(H\) 會出現奇次項，導致 \(H\) 沒有下限。 以上論述使得 \(L\) 依賴於一次導數較為合理。