最小作用量原理（相對論性）

如果保持規範不變的話，我們可以論證Action不會有\(A_\mu A^\mu \)項，因為\(A^\mu\) 的變分\(A^\mu \to A^\mu +\delta A^\mu \)會導致運動方程變化。 $$S=-{1 \over c^2} \int A_\mu A^\mu d^4 x $$ 加入Gauge \(\partial ^\mu G\) $$ \bar{A} ^\mu =A^\mu +\partial ^\mu G$$ 展開Action $$\bar{S}=-{1 \over c^2} \int \bar{A} _\mu \bar{A} ^\mu d^4 x $$ $$=-{1 \over c^2} \int (A_\mu +\partial _\mu G)(A^\mu +\partial ^\mu G) d^4 x $$ $$=-{1 \over c^2} \int A_\mu A^\mu d^4 x -{1 \over c^2} \int 2A^\mu \cdot \partial _\mu Gd^4 x -{1 \over c^2} \int \partial _\mu G\cdot \partial ^\mu Gd^4 x $$ 因為Gauge \(\partial ^\mu G\)獨立於4-Potential \(A^\mu\) ，\(A^\mu\) 的變分\(A^\mu \to A^\mu +\delta A^\mu\) 不影響\(\partial ^\mu G\)。我們比較對\(S\)變分和對\(\bar{S}\)變分的差異：
對\(S\)變分 $$\delta S=-{1 \over c^2} \delta \int A_\mu A^\mu d^4 x$$ $$ =-{2 \over c^2} \int A_\mu \delta A^\mu d^4 x$$
對\(\bar{S}\)變分 $$\delta \bar{S}=-{1 \over c^2} \delta \int A_\mu A^\mu d^4 x -{1 \over c^2} \delta \int 2A_\mu \partial ^\mu Gd^4 x -\color{red}{0\,\,\left(\partial ^\mu G沒有變分\right)}$$ 第一項就是原本的變分 $$\delta \bar{S}=-{2 \over c^2} \int A_\mu \delta A^\mu d^4 x -{2 \over c^2} \delta \int A^\mu \cdot \partial _\mu Gd^4 x $$ $$=-{2 \over c^2} \int (A_\mu +\partial _\mu G)\delta A^\mu d^4 x $$ 比對後會發現兩者不一樣，會導致規範不變被破壞。如果我們希望保持規範不變性，那就不會出現\(A_\mu A^\mu\) 。當然，也許某一天實驗發現規範不變性是錯誤的，那有可能可以引入\(A_\mu A^\mu \)項。